Ontología y entidades matemáticas: ¿qué son los números?

Cuando hablamos de lo que existe, hay por lo general dos estrategias para responder: (a) la respuesta quineana, que afirma que existe todo; (b) y la respuesta carnapiana, que afirma que existe lo que determine el dominio de un marco lingüístico determinado.

Existen respuestas del sentido común obviamente, que buscan afirmar que existe lo que vemos, oímos, sentimos, y que eso constituye, de forma objetiva o subjetiva, lo que existe para nosotros. Sin embargo, hay dificultad para las visiones del sentido común como justificar la existencia de entidades como los números, pues son entidades objetivas y no espacio-temporales.

En este breve artículo veremos (1) que son las entidades abstractas y la estrategia de David Lewis para caracterizarlas; (2) qué son las entidades matemáticas, siguiendo a Frege y a Quine; (3) el famoso argumento de indispensabilidad matemática, en el que se defiende la existencia de las entidades matemáticas; (4) y un problema epistemológico a la posición a favor de la existencia de los números.

1. ¿Qué son las entidades abstractas?

Las entidades abstractas son entidades que pertenecen a un tercero reino, en caso de que existan que cumplen una serie de condiciones o vías descritas por David Lewis (1986): (a) la vía de la negación, (b) la vía del ejemplo, (c) la vía de la inflación y (d) la vía de la abstracción.

La vía de la negación es la más obvia, pues describe las propiedades de las entidades abstractas negando aquellas propiedades que hacen las entidades concretas lo que son. Así, siguiendo a Rosen (2001), las entidades abstractas carecerían de espacio-temporalidad así como serían causalmente ineficientes. Ahora, hay entidades que consideramos abstractas que parece que tienen una cierta relación con la espacio-temporalidad, a pesar de que no existan en tal, como es el caso de las entidades artefactuales: entidades que comienzan a existir de forma abstracta una vez creadas. Este es el caso del ajedrez, novelas o piezas musicales. Asimismo, este tipo de entidades parecen no ser causalmente inertes, sino que provienen o causan algún tipo de causalidad, por lo menos en nosotros. Por ejemplo, el hecho de leer ‘Guerra y Paz’ o ‘El Capital’, como pensamientos pueden causar cambios en el mundo que no se darían en un mundo puramente fisicalista, pues producen en nosotros la tala de árboles, revoluciones, o formas de entender y conceptualizar la realidad.

La vía del ejemplo identifica las entidades abstractas segundo la epistemología que causa la distinción concreto/abstracto; por ejemplo, la teoría causal del conocimiento es plenamente funcional para las entidades concretas, mas no resulta válida para entidades abstractas, y una vez identificados algunos elementos de cada, por similitud entendemos que entidades son abstractas y cuales concretas.

La vía de la inflación busca otros pares de distinciones para proseguir en las comparaciones entre entidades, como es la distinción entre particular y universal.

Por último, la vía de la abstracción es una forma clásica de identificar entidades abstractas pues, desde la Grecia clásica, la filosofía de la anima entendía que tenemos la capacidad de abstraer conceptos a partir de la base física y concreta.

Ahora bien, esto no justifica ni aclara por qué deberíamos creer que las entidades matemáticas son abstractas a pesar de que a nosotros nos parezca de que esta deba ser su naturaleza. Se expondrán ahora dos puntos en pro de (a) que son entidades abstractas (b) y de que existen, puesto que son indispensables para nuestra práctica científica.

2. La naturaleza de las entidades matemáticas

Siguiendo a Horsten (2019), hay varias formas de concebir que tipo de entidades son las entidades matemáticas. Aunque sea una división muy estereotipada, podemos dividir en dos grupos las posiciones respeto a las entidades abtractas: (a) los platónicos, que son aquellos filósofos que afirman la existencia de objetos abstractos (b) y los nominalistas, que son los que niegan su existencia. A pesar de que efectivamente Platón es un platónico, no todos los platónicos siguen las ideas de Platón, así como los nominalistas contemporáneos no siguen a los nominalistas medievales. Más adelante veremos el platonismo y como el argumento de Quine de la prioridad al platonismo frente el nominalismo:

Si hay que juzgar entre el nominalismo y el realismo sobre esa base, es claro que disminuyen los méritos del nominalismo. La razón para admitir números como objetos es precisamente su eficacia en la organización y la acomodación explícita de las ciencias (Quine, 2001: 299).

Mas, primero hay que entender que son y en que plano de la realidad pueden (si hay) estar.

Sabemos por la tesis del compromiso ontológico que cuando un x puede ser una variable, este es un objeto. En el ajedrez hay unas reglas como que "El rey se mueve por cuadrados uno a uno", mas afirmar esto exige que para que algo esté supeditado a una regla, pues la que aquello que afecte la regla exista. Que un rey se mueva por cuadrados implica la existencia de un rey, pues de no existir, no tendría tal regla a seguir. Cuidado que, aquí cuando hablamos de no-existencia hablamos de no-existencia material y mental, pues nosotros tenemos ideas y entidades imaginarias que tienen ciertas propiedades, como que "El caballo de Don Quijote se llama Rocinante", en contraposición a objetos imposibles o meinongnianos.

Por lo tanto, afirmar que el rey se mueve por cuadrados uno a uno implica que hay, por lo menos, un rey, bien desde un marco lingüístico carnapiano (si asumimos una concepción deflacionaria de la ontología), bien como algo que realmente existe (si asumimos una concepción naturalista o no deflacionaria). En este sentido podemos intuir que cuando decimos uno más dos es igual a tres estamos dando a entender que hay un uno, un dos y un tres, … que hay números. Sería un poco extraño afirmar que "la suma de 1 más 2 es igual a 3" pero que los sumandos en realidad no existieran, al modo en que McX asume entidades platónicas cómo conjuntos o atributos sin un análisis del lenguaje.

Existen, por lo menos, tres orientaciones para responder la pregunta que es una entidad matemática: (i) las entidades matemáticas son entidades o constructos mentales o son cosas que están en nuestra mente, como ideas innatas; (ii) son entidades físicas, de alguna manera espacio-temporales, y se encuentran en el mundo, son entidades de las que tenemos experiencia como tenemos experiencia de una mesa; (iii) o son entidades abstractas, que no son ni mentales ni físicas.

Los números parecen ser entidades abstractas, y por entidad abstracta los filósofos tratan de objetos que no ocupan una localización espacial y/o temporal, y también que no tiene relaciones causales con otras cosas. De hecho, los números son uno de los primeros candidatos para ser objetos abstractos. Sin embargo, a pesar de que afirmemos que el número 5 es una entidad abstracta, esto no significa que sea un universal, son particulares porque figuran como valores de variables.

Una primera defensa de las entidades matemáticas fue hecha por Gottlob Frege (1848-1925) la raíz de su insistencia en la objetividad y aprioricidad de las verdades matemáticas, lo que implica que los números no son ni entidades materiales ni ideas de la mente. El problema con la hipótesis de que los números son entidades físicas es que de serlo, o tuvieran propiedades de entidades materiales, las leyes de la aritmética y de la geometría tendrían el estatus de generalizaciones empíricas, cuando desde la antigua Grecia tenemos la intuición de que el conocimiento matemático es especial en el sentido en que no precisamos del mundo para saber la veracidad de nuestras hipótesis matemáticas. Por ejemplo, "ahora mismo está lloviendo fuera" tiene un modo distinto de presentárseme que "dos más dos son cuatro", porque mientras que la primera afirmación parece poder ser verdadera o falsa, la segunda parece ser necesariamente verdadera.

Por el contrario, si los números fueran ideas de nuestra mente, aparecería el mismo problema así como problemas de la subjetividad como si cuando yo digo ‘5’ y alguno de otro dice ‘5’ si estamos hablando del mismo (perdería su estatus objetivo). Y también si las entidades matemáticas habían sido entidades mentales, entonces cómo explicamos la relación que existe, por ejemplo, entre los números y las teorías científicas, o que si existan números infinitesimales como π, pues si es mental, no hay garantía de que sea así. Si el conocimiento nace por abstracción, entonces se da que el conocimiento matemático no es un conocimiento necesario, pues es contingente que mi abstracción de objetos la una serie de números sea correcta. Expone Frege así su idea:

Si el pensamiento que expresó en el teorema de Pitágoras puede ser reconocido como verdadero tanto por otros como por mí, no pertenece, entonces, al contenido de mi conciencia; no soy yo, por consiguiente, su portador; sin embargo, puedo reconocerlo como verdadero. Pero si no es el mismo pensamiento el que yo o aquel otro hombre consideramos que es el contenido del teorema de Pitágoras, entonces, en rigor, no se debería decir “el teorema de Pitágoras”, sino “mi teorema de Pitágoras” o “su teorema de Pitágoras”, y éstos serían diferentes, pues el sentido pertenece necesariamente a la oración (Frege, 1996: 36).

En Los fundamentos de la aritmética, Frege concluye que los números no son ni entidades concretas 'externas' ni entidades mentales de ningún tipo. En "El pensamiento" le dará el estatus de pensamientos (el sentido de las oraciones declarativas) y también, por implicación, para sus constituyentes, el sentido de las expresiones subyacentes. Frege no dice que los sentidos sean 'abstractos', sino que pertenecen a un tercero reino distinto del mundo externo sensible y el mundo interno de la conciencia.

3. ¿Por qué aceptar la existencia de los números?

W.V.O. Quine formuló en la década de los 60 una crítica metodológica de la filosofía tradicional a la que denominó como naturalismo, que defiende que nuestras mejores teorías son las teorías científicas por lo que, si queremos obtener la mejor respuesta disponible a las preguntas filosóficas "¿cómo sabemos?" o "¿qué entidades existen?", deberíamos apelar a las teorías científicas y no a la teorías metafísicas tradicionales, como puede ser el empirismo berkeleyliano o el idealismo hegeliano. Para Quine, deberíamos consultar y analizar las mejores teorías científicas a ver que nos dicen del mundo, pues estas contienen, implícitamente, nuestra mejor baza para determinar lo que hay, que sabemos o como lo sabemos.

Sin embargo, aproximadamente desde Galileo, las teorías científicas dejaron de lado su expresión en el lenguaje natural, como acontece en la Física de Aristóteles, por un lenguaje más rico y preciso, que es el de las matemáticas. La teoría de la gravitación de Newton, la mecánica cuántica, teorías químicas sobre las reacciones de reducción y oxidación, …, apoyándose en la cuantificación sobre números reales. Consecuentemente, un compromiso ontológico con las entidades matemáticas parece inherente a nuestras mejores teorías científicas.

Veamos la versión del Argumento de la Indispensabilidad Matemática de Quine (AIMQ) tal y como lo presenta Russell Marcus (s.f.) en Internet Encyclopedia of Philosophy (traducción propia):

1. Debemos creer en las teorías que explican mejor nuestras experiencias sensibles.

2. Si creemos en una teoría, debemos creer nos sus compromisos ónticos.

3. El compromiso óntico de cualquier teoría son los objetos sobre los que esa teoría cuantifica en primera orden.

4. La teoría que mejor explica nuestras experiencias sensibles cuantifica en primera orden sobre objetos matemáticos.

5. Debemos creer que los objetos matemáticos existen.

En AIMQ, la premisa (1) es el criterio de elección para nuestro compromiso ontológico, basado en el éxito de las teorías, así como en los dos pilares fundamentales del criterio quineano: naturalismo y holismo confirmacional. La tesis del holismo confirmacional afirma que “individual sentences are only confirmed in the context of a broader theory” (Marcus, s.f.), por lo que las teorías solo pueden ser confirmadas o refutadas cómo uno todo, pues el significado de ciertos conceptos científicos solo han sentido dentro de dicha teoría, como es la noción de ‘átomo’.

La premisa (2) es el criterio quineano expuesto de forma simplificado. Puede ser fácilmente criticado desde una posición deflacionaria como es el ficcionalismo, entendiendo que dicho compromiso, se está justificado pragmáticamente, no es relevante en cuanto asumir una ontología. El ficcionalismo entiende las teorías como lenguajes en las que sería verdadero-en- L las entidades matemáticas, al modo de una novela, mas esta posición presupone nociones intensionales como los de sinonimia o analiticidad que un naturalista no se puede permitir dada la negación de la discontinuidad entre filosofía y ciencia, pues sería rechazar el holismo confirmacional.

La premisa (3) deviene de la necesidad por un lenguaje regimentado y que evite nociones obscuras y trate predicados cómo si fueran nombres propios.

La premisa (4) es una premisa común a toda la comunidad científica, pues excepto concepciones anarquistas epistemolóxicas como las de Paul Feyerabend o pseudocientíficas no considerarían que las matemáticas sean necesarias para la ciencia como lenguaje esencial de sus teorías.

Llegar a la conclusión por (1) y (4) se debe la que Quine rechaza el reductivismo característico del neopositivismo, pues el modo naturalista de hacer filosofía exige tratar los datos de los sentidos y las teorías científicas como uno todo, y dado que las entidades matemáticas, a pesar de que no forman parte de nuestros sense data, sí que constituyen parte fundamental de las teorías científicas, cumpliendo el principio de parsimonia.

4. El dilema de Benacerraf

Siguiendo a Liggis (2010) y Balaguer (2001), podemos comentar una famosa objeción al platonismo matemático: el Desafío de Benacerraf. Este desafío se trata de un problema epistemológico propuesto por Paul Benacerraf (1973) que sostiene que las entidades matemáticas no existen puesto que no es posible tener conocimiento de ellas. Este problema está basado en que nuestra mejor teoría epistemológica es la teoría causal del conocimiento (TCC), que afirma que un sujeto s tiene conocimiento de p si y solo si s entra en contacto con p. Veamos el argumento (Balaguer, 2001: 22; traducción propia).

1. Los seres humanos existimos enteramente en el espacio-tiempo.

2. Si existe cualquier entidad matemática abstracta, entonces existen fuera del espacio tiempo.

3. (por TCC) Si existe algún objeto matemático abstracto, entonces los seres humanos no pueden obtener conocimiento de él

4. Si el platonismo matemático es correcto, entonces los seres humanos no pueden obtener conocimiento matemático

5. Los seres humanos tienen conocimiento matemático

6. El platonismo matemático no es correcto.

Sin embargo, desde la publicación de “Mathematical truth” (1973), la teoría causal del conocimiento fue siendo relegada como la mejor teoría epistemológica. Asimismo, Liggins (2017: 68-69) recuerda como Lewis (1986) invirtió el argumento de manera que en realidad, lo que demuestra el dilema de Benacerraf es que las matemáticas refutaron la teoría causal del conocimiento dada una evidencia clave: que nuestro conocimiento matemático es mucho más fiable que nuestro conocimiento sobre epistemología.

Bibliografía

Dejo una bibliografía extendida para quien interese

• Balaguer, M. (2001). Platonism and anti-platonism in mathematics. New York: OUP.

• Benacerraf, P. (1973). Mathematical Truth. The Journal of Philosophy, 70(19), 661-679.

• Bricker, P. (2016). Ontological Commitment. (E. N. Zalta, Ed.) Obtido de The Stanford Encyclopedia of Philosophy: <https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/ontological-commitment/>.

• Chalmers, D. J., Manley, D., & Wasserman, R. (Edits.). (2013). Metametaphysics. New essays on foundations of ontology. Oxford: OUP.

• Cole, J. C. (s.d.). Mathematical Platonism. (J. Fieser, & B. Dowden, Edits.) Obtido de Internet Encyclopedia of Philosophy: <https://www.iep.utm.edu/mathplat/>.

• Colyvan, M. (1998). In Defence of Indispensability. Philosophia Mathematica 6(1), 39-62.

• Colyvan, M. (2019). Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics. (E. N. Zalta, Ed.) Obtido de The Stanford Encyclopedia of Philosophy: <https://plato.stanford.edu/archives/spr2019/entries/mathphil-indis/>.

• Eklund, M. (2006). Metaontology. Philosophy Compass 1/3, 317-334.

• Frege, G. (1996). El pensamiento. En Pensamiento y lenguaje. Problemas en la atribución de actitudes proposicionales (págs. 23-48). México D.F.: UNAM Instituto de Investigaciones Filosóficas.

• Horsten, L. (2019). Philosophy of Mathematics. (E. N. Zalta, Ed.) Obtenido de The Stanford Encyclopedia of Philosophy: <https://plato.stanford.edu/archives/spr2019/entries/philosophy-mathematics/>.

• Lewis, D. (1986). On the Plurality of the Worlds. Oxford: Blackwell.

• Liggins, D. (2010). Epistemological Objections to Platonism. Philosophy Compass 5/1, 67-77.

• Lowe, E.J. (2002). A survey of metaphysics. Oxford: OUP.

• Marcus, R. (s.f.). The Indispensability Argument in the Philosophy of Mathematics. (J. Fieser, & B. Dowden, Edits.) Obtenido de Internet Encyclopedia of Philosophy: <https://www.iep.utm.edu/indimath/>.

• Quine, W.O.V. (2001). Palabra y objeto. Barcelona: Herder.

• Quine, W.O.V. (2002). Desde un punto de vista lógico. Barcelona: Paidós.

• Rosen, G. (2018). Abstract Objects. (E. N. Zalta, Ed.) Obtido de The Stanford Encyclopedia of Philosophy: <https://plato.stanford.edu/archives/win2018/entries/abstract-objects/>.